このページでは、等比数列の和の公式について詳しく解説します。公式の証明や応用例を通じて、理解を深めていきましょう！🤓
まず、等比数列について復習しましょう。等比数列は、隣り合う項の比が一定の数列を指します。たとえば、初項が \( a \) で公比が \( r \) の場合、一般項は以下のように表されます：
\[ a_n = ar^{n-1} \]
等比数列の和は次のように表されます。
初項を \( a \)、公比を \( r \)、項数を \( n \) としたとき、和 \( S_n \) は以下の式で計算できます：
\[ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1) \]
この公式はとても便利ですが、ちゃんと導出できなければ意味がありません！
😅それでは、この公式を証明してみましょう。和 \( S_n \) を次のように書きます：
\[ S_n = a + ar + ar^2 + \ldots + ar^{n-1} \]
この式を \( r \) で掛けてみましょう：
\[ rS_n = ar + ar^2 + ar^3 + \ldots + ar^n \]
このとき、両方の式を引き算すると、
\[ S_n - rS_n = a - ar^n \]
したがって、整理すると：
\[ S_n(1 - r) = a(1 - r^n) \]
これを変形すると、公式が導けます！
\[ S_n = \frac{a(1 - r^n)}{1 - r} \quad (r \neq 1) \]
さて、実際にこの公式を使ってみましょう！初項 \( a = 2 \)、公比 \( r = 3 \)、項数 \( n = 4 \) の場合、
和 \( S_n \) は：
\[ S_4 = \frac{2(1 - 3^4)}{1 - 3} \]
計算すると：
\[ S_4 = \frac{2 \cdot (1 - 81)}{-2} = 80 \] 💡
「数学の美しさは、シンプルさと力強さの間にある。」
等比数列の和の公式は、数列を扱う際に非常に重要です。公式を理解し、実際の問題に応用できるようになれば、数学がもっと楽しくなりますね！✨